Qu’est-ce que la Variance ?
La variance est une mesure statistique qui quantifie la dispersion d’un ensemble de données par rapport à sa moyenne. En d’autres termes, elle indique à quel point les valeurs individuelles d’une série de données sont étalées ou regroupées autour de la valeur centrale.
Définition détaillée de la Variance
En théorie des probabilités et en statistiques, la variance est une mesure fondamentale de la variabilité. Elle est calculée comme la moyenne des carrés des écarts de chaque nombre par rapport à la moyenne de l’ensemble de données. Une variance de zéro indique que toutes les valeurs de l’ensemble de données sont identiques. Une variance élevée, en revanche, suggère que les données sont très dispersées par rapport à la moyenne et les unes par rapport aux autres. La variance est toujours non négative, et une petite variance indique que les points de données ont tendance à être très proches de la moyenne et donc les uns des autres, tandis qu’une grande variance indique que les points de données sont très éloignés de la moyenne et les uns des autres.
Le concept de variance a été introduit pour la première fois par Ronald Fisher dans son article de 1918 intitulé “The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance”. Fisher était un statisticien et un biologiste qui a utilisé les statistiques pour expliquer et quantifier les observations en génétique. L’introduction de la variance a fourni un outil mathématique formel pour mesurer la variabilité, ce qui était crucial pour le développement de la statistique moderne et de l’analyse de la variance (ANOVA).
La variance est le carré de l’écart-type, une autre mesure de dispersion couramment utilisée. Alors que l’écart-type est exprimé dans les mêmes unités que les données d’origine, ce qui le rend plus facile à interpréter, la variance est exprimée en unités au carré. Cependant, la variance possède des propriétés mathématiques qui la rendent très utile dans les calculs statistiques, en particulier dans les tests d’hypothèses et l’inférence statistique.
Comment fonctionne la Variance ?
Le calcul de la variance implique plusieurs étapes. Tout d’abord, on calcule la moyenne (la moyenne arithmétique) de l’ensemble des données. Ensuite, pour chaque point de données, on soustrait la moyenne et on met le résultat au carré. Cette opération est effectuée pour chaque valeur de l’ensemble de données. Enfin, on calcule la moyenne de ces différences au carré. La formule de la variance (σ²) pour une population est la suivante :
σ² = Σ (xi – μ)² / N
où :
- Σ représente la sommation
- xi est chaque valeur de l’ensemble de données
- μ est la moyenne de la population
- N est le nombre total de valeurs dans la population
Pour un échantillon, la formule est légèrement différente pour fournir une estimation non biaisée de la variance de la population :
s² = Σ (xi – x̄)² / (n – 1)
où :
- x̄ est la moyenne de l’échantillon
- n est la taille de l’échantillon
La division par (n-1) au lieu de n est connue sous le nom de correction de Bessel. Elle est nécessaire car l’utilisation de la moyenne de l’échantillon au lieu de la moyenne de la population sous-estime la véritable variance de la population.
Quelle est la différence entre la variance et l’écart-type ?
La variance et l’écart-type sont deux mesures de dispersion étroitement liées, mais elles ne sont pas interchangeables. L’écart-type est simplement la racine carrée de la variance. Cette relation signifie que l’écart-type est exprimé dans les mêmes unités que les données d’origine, ce qui le rend beaucoup plus intuitif à interpréter. Par exemple, si nous mesurons la taille d’un groupe de personnes en centimètres, l’écart-type sera également en centimètres, alors que la variance sera en centimètres carrés. Il est difficile de conceptualiser des “centimètres carrés” dans ce contexte, c’est pourquoi l’écart-type est souvent préféré pour rapporter la variabilité d’un ensemble de données.
Cependant, la variance a des propriétés mathématiques qui la rendent extrêmement utile dans les analyses statistiques plus avancées. Par exemple, la variance de la somme de variables aléatoires non corrélées est la somme de leurs variances, une propriété qui ne s’applique pas à l’écart-type. Cette propriété d’additivité rend la variance indispensable dans des techniques telles que l’analyse de la variance (ANOVA), qui compare les moyennes de plusieurs groupes, et dans l’analyse de régression, qui modélise la relation entre les variables. Pour plus d’informations, vous pouvez consulter la page Wikipedia sur la variance.
Pourquoi la variance est-elle importante en finance ?
En finance, la variance est une mesure centrale du risque. Elle est utilisée pour quantifier la volatilité d’un actif ou d’un portefeuille d’investissement. Une variance élevée indique une plus grande incertitude et un risque plus élevé, car les rendements de l’actif ont fluctué de manière significative par rapport à leur moyenne historique. À l’inverse, une faible variance suggère que les rendements ont été plus stables et prévisibles. Les investisseurs et les gestionnaires de portefeuille utilisent la variance (et l’écart-type) pour évaluer le compromis entre le risque et le rendement d’un investissement.
La théorie moderne du portefeuille, développée par Harry Markowitz, repose fortement sur le concept de variance. Markowitz a montré que les investisseurs peuvent réduire le risque global de leur portefeuille en combinant des actifs ayant de faibles corrélations. La variance d’un portefeuille n’est pas simplement la moyenne pondérée des variances des actifs individuels ; elle dépend également des covariances entre les actifs. En diversifiant leurs investissements, les investisseurs peuvent construire un “portefeuille optimal” qui maximise le rendement attendu pour un niveau de risque donné (variance). Pour en savoir plus sur les carrières en finance et en data, consultez nos bootcamps en data science.
Applications concrètes
La variance est utilisée dans de nombreux domaines pour prendre des décisions éclairées. En contrôle de la qualité industrielle, la variance est utilisée pour surveiller la cohérence des processus de production. Un fabricant peut mesurer la variance des dimensions d’un produit pour s’assurer qu’il respecte les spécifications. Une augmentation de la variance peut signaler un problème dans le processus de fabrication qui doit être corrigé.
En sciences, la variance est utilisée pour évaluer la fiabilité des mesures expérimentales. Les chercheurs calculent la variance des mesures répétées pour déterminer la précision de leurs instruments et de leurs méthodes. En sciences sociales, la variance est utilisée pour étudier la diversité au sein des populations. Par exemple, un sociologue peut analyser la variance des revenus pour comprendre les inégalités économiques.
En apprentissage automatique, la variance est un concept clé dans le compromis biais-variance. Un modèle à forte variance est un modèle qui est trop complexe et qui s’adapte trop étroitement aux données d’entraînement (surapprentissage). Ce type de modèle est très sensible aux fluctuations des données d’entraînement et ne se généralise pas bien aux nouvelles données. Comprendre et gérer la variance est essentiel pour construire des modèles prédictifs robustes et précis. Pour approfondir vos connaissances, lisez notre article sur le compromis biais-variance.
La Variance et les métiers de la Data
Pour les professionnels de la data, la maîtrise de la variance est indispensable. Les data scientists, les data analysts et les ingénieurs en apprentissage automatique utilisent la variance au quotidien pour explorer et comprendre les données, construire et évaluer des modèles, et communiquer leurs résultats. Un data analyst peut utiliser la variance pour identifier les tendances et les anomalies dans les données de vente. Un data scientist peut utiliser l’ANOVA pour déterminer si une nouvelle campagne de marketing a eu un effet significatif sur l’engagement des clients.
La capacité à interpréter et à manipuler la variance est une compétence fondamentale qui est testée dans les entretiens techniques et qui est cruciale pour le succès dans une carrière en data. Une solide compréhension de la variance et de ses implications permet aux professionnels de la data de passer de la simple description des données à l’inférence statistique et à la modélisation prédictive, apportant ainsi une valeur ajoutée significative à leur organisation. Pour en savoir plus sur les concepts statistiques fondamentaux, consultez notre glossaire de la data.