Qu’est-ce que la Distance de Mahalanobis ?
La distance de Mahalanobis est une mesure statistique qui évalue la distance entre un point et une distribution de données, en tenant compte de la corrélation entre les variables. Elle offre une perspective plus nuancée que la distance euclidienne classique en s’adaptant à la forme et à l’orientation des données.
Définition détaillée de la Distance de Mahalanobis
Introduite dans les années 1930 par le statisticien indien Prasanta Chandra Mahalanobis, cette mesure a été initialement développée pour analyser des données craniométriques et identifier des similitudes entre différentes populations en Inde. Contrairement à la distance euclidienne qui traite toutes les dimensions de manière égale, la distance de Mahalanobis est standardisée et prend en compte la covariance entre les variables. Cela signifie qu’elle mesure la distance en unités de déviation standard par rapport au centre (centroïde) d’un nuage de points, ce qui la rend invariante à l’échelle et aux rotations des données.
Cette capacité à gérer des données multivariées dont les variables sont corrélées est fondamentale. Dans un espace à plusieurs dimensions, les données forment souvent des nuages de points de forme ellipsoïdale plutôt que sphérique. La distance de Mahalanobis transforme cet espace pour que les corrélations soient éliminées et que les variances soient égales, ramenant ainsi le problème à un calcul de distance dans un espace où la distribution est sphérique. C’est cette transformation qui lui confère sa puissance pour identifier des points qui, bien que proches en termes euclidiens, sont statistiquement très éloignés de la distribution centrale.
Le calcul de la distance de Mahalanobis, notée D², implique l’inversion de la matrice de covariance des données. Cette matrice capture la manière dont les variables varient ensemble. Un D² élevé indique qu’un point est un outlier (une anomalie) potentiel, car il se situe dans une région de faible densité de probabilité de la distribution. Cette approche est donc au cœur de nombreuses techniques de détection d’anomalies et de classification en machine learning.
Comment fonctionne la Distance de Mahalanobis ?
Le fonctionnement de la distance de Mahalanobis repose sur la prise en compte de la structure de corrélation des données. Pour un point donné, on calcule sa distance par rapport au centre de la distribution (le vecteur moyen). Cependant, au lieu de tracer une ligne droite comme le ferait la distance euclidienne, on normalise cette distance en utilisant la matrice de covariance. Concrètement, la formule est D²(x, μ) = (x – μ)ᵀ Σ⁻¹ (x – μ), où ‘x’ est le vecteur du point, ‘μ’ est le vecteur moyen de la distribution, et ‘Σ⁻¹’ est l’inverse de la matrice de covariance. Cette opération revient à projeter les données dans un nouvel espace où les axes sont décorrélés et mis à l’échelle, puis à y calculer une distance euclidienne standard. C’est une généralisation de l’idée de mesurer à combien d’écarts-types un point se trouve de la moyenne.
Quelle est la différence entre la distance de Mahalanobis et la distance euclidienne ?
La différence fondamentale réside dans la prise en compte de la structure des données. La distance euclidienne mesure la distance géométrique la plus courte entre deux points dans un espace, en supposant que les axes de cet espace sont orthogonaux et à la même échelle. Elle est idéale pour des données non corrélées et isotropes. En revanche, la distance de Mahalanobis est une distance statistique. Elle intègre la covariance entre les variables, ce qui lui permet de s’adapter aux distributions de données qui sont étirées ou tournées. Pour en savoir plus sur les concepts fondamentaux, consultez la page Wikipédia sur le sujet ou la documentation technique du MIT.
En quoi la distance de Mahalanobis est-elle utile pour la détection d’anomalies ?
La détection d’anomalies (ou outliers) est l’une de ses applications les plus puissantes. Parce qu’elle mesure la distance d’un point par rapport au centre d’une distribution en tenant compte de sa forme, elle peut identifier des points qui ne sont pas nécessairement les plus éloignés géométriquement, mais qui sont statistiquement improbables. Par exemple, dans un jeu de données sur les revenus et l’âge, une personne de 25 ans avec un revenu de 500 000 € serait une anomalie, même si d’autres points (une personne de 60 ans avec le même revenu) existent. La distance de Mahalanobis capture cette improbabilité contextuelle, ce qui en fait un outil de choix pour la fraude, la surveillance de systèmes ou le contrôle qualité. Pour approfondir ces techniques, explorez notre glossaire de la data.
Applications concrètes
Au-delà de la théorie, la distance de Mahalanobis est utilisée dans de nombreux secteurs. En finance, elle permet de détecter des transactions frauduleuses ou d’évaluer le risque d’un portefeuille d’actifs en mesurant à quel point sa composition s’écarte de la norme. Dans l’industrie, elle est appliquée au contrôle qualité pour identifier des produits défectueux sur une chaîne de production. En imagerie médicale, elle aide à classifier des tissus (sains ou pathologiques) en se basant sur plusieurs caractéristiques extraites des images. Ces applications montrent sa polyvalence pour résoudre des problèmes de classification et d’analyse de données complexes.
La Distance de Mahalanobis et les métiers de la Data
Pour les professionnels de la data, la maîtrise de la distance de Mahalanobis est un atout considérable. Les Data Scientists l’utilisent pour construire des modèles de classification plus robustes et pour le nettoyage des données en amont. Les Data Analysts peuvent s’en servir pour des analyses exploratoires afin de mieux comprendre la structure de leurs données et d’identifier des points d’intérêt. Comprendre ce concept est essentiel pour quiconque souhaite se spécialiser en machine learning et en analyse statistique avancée. Nos bootcamps en Data Science couvrent en profondeur ces outils statistiques indispensables. Pour plus d’articles sur le sujet, visitez notre blog.