Qu’est-ce qu’un Diagramme de Voronoï ?
Un diagramme de Voronoï est une partition d’un plan en régions basées sur la distance par rapport à des points dans le plan. Chaque région, ou cellule de Voronoï, contient un point et l’ensemble des points du plan qui sont plus proches de ce point que de tout autre.
Définition détaillée d’un Diagramme de Voronoï
Le concept des diagrammes de Voronoï remonte au moins à 1644 avec René Descartes, mais il a été formalisé et popularisé par le mathématicien russe Georgy Voronoy en 1908. C’est pourquoi on l’appelle aussi tessellation de Voronoï ou décomposition de Voronoï. Ces diagrammes sont un concept fondamental en géométrie computationnelle et ont des applications dans de nombreux domaines, de l’astronomie à la biologie en passant par l’urbanisme.
Pour construire un diagramme de Voronoï, on part d’un ensemble de points, appelés sites ou générateurs. Le plan est alors divisé en polygones convexes, de sorte que chaque polygone contienne exactement un site et que chaque point d’un polygone donné soit plus proche de son site que de tout autre site. Les arêtes des polygones sont les lieux des points du plan qui sont équidistants de deux sites les plus proches. Les sommets des polygones sont les points équidistants de trois sites ou plus.
La structure duale d’un diagramme de Voronoï est la triangulation de Delaunay, qui est une autre structure géométrique importante. La triangulation de Delaunay d’un ensemble de points est un ensemble de triangles dont les sommets sont les points de l’ensemble, et qui a la propriété que le cercle circonscrit de chaque triangle ne contient aucun autre point de l’ensemble. Il existe une relation directe entre les deux : le diagramme de Voronoï d’un ensemble de points peut être obtenu à partir de la triangulation de Delaunay de ces mêmes points, et vice versa.
Comment fonctionne un Diagramme de Voronoï ?
La construction d’un diagramme de Voronoï peut être réalisée à l’aide de plusieurs algorithmes. L’un des plus connus est l’algorithme de Fortune, un algorithme de balayage qui parcourt le plan de gauche à droite, en construisant le diagramme au fur et à mesure. L’algorithme maintient une ligne de balayage et une structure de données appelée “ligne de plage”, qui est une séquence de paraboles. Les points d’intersection des paraboles tracent les arêtes du diagramme de Voronoï.
Quelle est la différence entre un diagramme de Voronoï et une triangulation de Delaunay ?
Comme mentionné précédemment, le diagramme de Voronoï et la triangulation de Delaunay sont des duaux l’un de l’autre. Alors que le diagramme de Voronoï partitionne le plan en fonction de la proximité des sites, la triangulation de Delaunay relie les sites pour former un maillage de triangles. La triangulation de Delaunay a la propriété de maximiser l’angle minimum de tous les triangles du maillage, ce qui évite les triangles “dégénérés” (très fins et allongés). Cette propriété est très utile dans de nombreuses applications, comme la modélisation de terrain ou la génération de maillages pour la simulation numérique.
Comment les diagrammes de Voronoï sont-ils utilisés en pratique ?
Les applications des diagrammes de Voronoï sont nombreuses et variées. En géographie et en urbanisme, ils peuvent être utilisés pour déterminer les zones de chalandise des commerces, les zones de desserte des écoles ou des hôpitaux. En biologie, ils permettent de modéliser les territoires des animaux ou la structure des tissus cellulaires. En robotique, ils sont utilisés pour la planification de trajectoire, en aidant un robot à naviguer dans un environnement en évitant les obstacles. En astronomie, ils aident à identifier les amas de galaxies.
Applications concrètes
Une entreprise de logistique pourrait utiliser un diagramme de Voronoï pour optimiser les tournées de ses livreurs. En plaçant les entrepôts comme des sites, le diagramme de Voronoï diviserait la carte en zones, chaque zone étant desservie par l’entrepôt le plus proche. Cela permettrait de minimiser les distances de livraison et d’améliorer l’efficacité. De même, un opérateur de télécommunications pourrait utiliser les diagrammes de Voronoï pour planifier l’emplacement de ses antennes relais, afin d’assurer une couverture réseau optimale.
Le Diagramme de Voronoï et les métiers de la Data
Pour les professionnels de la data, la compréhension des diagrammes de Voronoï est un atout. Les Data Scientists peuvent les utiliser pour des tâches de clustering, en regroupant les données en fonction de leur proximité. Les Data Analysts peuvent s’en servir pour des analyses géospatiales, par exemple pour visualiser la répartition de la clientèle. Les Data Engineers peuvent être amenés à implémenter des algorithmes de construction de diagrammes de Voronoï pour des applications à grande échelle. Pour en savoir plus sur les métiers de la data, vous pouvez consulter notre glossaire et nos formations en Data Analyse et Data Science.
Pour approfondir vos connaissances, vous pouvez consulter la page Wikipedia sur les diagrammes de Voronoï ou cet article de Wolfram MathWorld.